Metodo di sostituzione

Risolviamo il sistema generico
ax + by = c
dx + ey = f
ove a, b, c, d, e, f sono numeri dati
isolo il termine con x nella prima equazione
ax = - by + c
dx + ey = f
ricavo la x
x = (- by + c)/a
dx + ey = f
Sostituisco nella seconda equazione alla x il valore trovato
x = (- by + c)/a
d(-by + c)/a + ey = f
Al posto della prima equazione metto una linea. Nella seconda moltiplico
------------------
(-bdy + cd)/a + ey = f
ora faccio il minimo comune multiplo
------------------
-bdy + cd + aey       af
------------------- = ----
         a                     a
Tolgo i denominatori
------------------
-bdy + cd + aey = af
termini con y prima dell'uguale (metto prima i positivi), termini senza y dopo l'uguale
------------------
aey - bdy = af - cd
metto in evidenza y
------------------
y(ae - bd) = af - cd
Ricavo y dividendo il termine dopo l'uguale per il coefficiente della y
------------------
      af - cd
y = --------
      ae - bd
Devo sostituire questo valore nell'equazione sopra (rappresentata dalla linea). Da questo punto anche se e' un errore, per semplicita', ometto la parentesi graffa
     - by + c
x = --------
          a
Sostituisco
               af - cd
        -b ----------- + c
               ae - bd
x = -------------------
                a
Moltiplico sopra
        -abf + bcd
        -------------- + c
          ae - bd
x = -------------------
                a
minimo comune multiplo sopra
        -abf + bcd + ace - bcd
        ---------------------------
              ae - bd
x = ----------------------------------
                        a
Sommo e scrivo prima i positivi
            ace - abf
        --------------------
              ae - bd
x = -------------------------
                a
Moltiplico il numeratore per l'inverso del denominatore
        ace - abf      1
x = ------------- · ---
        ae - bd         a
Raccolgo a al numeratore per semplificarlo con la a al denominatore
        a(ce - bf)      1
x = ------------- · ---
        ae - bd         a
Semplifico
      ce - bf
x = --------
      ae - bd
Quindi la soluzione del sistema sara'

      ce - bf
x = --------
      ae - bd

      af - cd
y = --------
      ae - bd
Se vuoi risolvere un sistema puoi anche usare questa come formula risolutiva