Se moltiplico ogni elemento di una riga (colonna) per un numero reale C allora il valore del determinante viene moltiplicato per C


Ad esempio si ha:

Ca1,1   Ca1,2   Ca1,3
a2,1      a2,2      a2,3
a3,1      a3,2      a3,3
= C · a1,1   a1,2    a1,3
a2,1    a2,2    a2,3
a3,1   a3,2    a3,3
E posso farlo per qualunque riga o colonna
Infatti sviluppando il primo si ottiene:
Ca1,1   Ca1,2   Ca1,3
a2,1     a2,2     a2,3
a3,1     a3,2     a3,3
= Ca1,1· a2,2   a2,3
a3,2   a3,3
- Ca1,2· a2,1   a2,3
a3,1   a3,3
+ Ca1,3· a2,1   a2,2
a3,1   a3,2
=

= Ca1,1·(a2,2a3,3 - a2,3a3,2) - Ca1,2·(a2,1a3,3 - a2,3a3,1) + Ca1,3·(a2,1a3,2 - a2,2a3,1) =
= Ca1,1 a2,2a3,3 - C a1,1a2,3a3,2 - Ca1,2a2,1a3,3 + Ca1,2a2,3a3,1 + Ca1,3a2,1a3,2 - Ca1,3a2,2a3,1=


e raccogliendo C

= C(a1,1a2,2a3,3 - a1,1a2,3a3,2 - a1,2a2,1a3,3 + a1,2a2,3a3,1 + a1,3a2,1a3,2 - a1,3a2,2a3,1) =

siccome quello tra parentesi e' lo sviluppo del secondo determinante possiamo scrivere

= C · a1,1   a1,2    a1,3
a2,1    a2,2    a2,3
a3,1   a3,2    a3,3

Come volevamo