Determinare i punti di massimo e minimo per la seguente funzione in tutto l'intervallo di definizione:

y = 2senx + cos2x
L'intervallo di definizione e' tutto R ma essendo la funzione periodica di periodo 2 mi limitero' a cercare massimi e minimi nell'intervallo [0, 2 )
C.E. = (- , + )
Trovo la derivata prima e la pongo uguale a zero

y' = 2cosx - 2sen2x
sviluppando sen2x
y' = 2cosx - 4senxcosx
y' = 2cosx(1 - 2senx)
Pongo la derivata uguale a zero
2cosx(1 - 2senx) = 0
la spezzo nelle due equazioni
  • 2 cosx =0     cosx = 0   
    • x= /2 + k
  • (1 - 2senx) = 0      2senx=1     senx = 1/2   
    • x= /6 + 2k
    • x= 5 /6 + 2k
Nell'intervallo [0, 2 ) ho quindi i valori:
/6    /2    5 /6    3 /2
Trovo i valori della y corrispondente sostituendo i vari valori al posto di x nell'equazione di partenza
  • y( /6) = 2sen /6 + cos2 /6 = 2sen /6 + cos /3 = 2 ·1/2 + 1 /2 = 3/2
    A( /6 , 3/2)
     
  • y( /2) = 2sen /2 + cos2 /2 = 2sen /2 + cos = 2 ·1 - 1 = 1
    B( /2 , 1)
     
  • y(5 /6) = 2sen(5 /6) + cos2(5 /6) = 2sen(5 /6 ) + cos(5 /3 )= 2 ·1/2 + 1/2= 3/2
    C(5 /6 , 3/2)
     
  • y(3 /2) = 2sen (3 /2) + cos2(3 /2) = 2sen(3 /2) + cos = 2 ·(-1) + (-1) = -3
    D(3 /2 , -3)
     

nei punti A , B , C , D potrei avere un massimo, un minimo o un flesso orizzontale
Per sapere se e' un massimo, un minimo o un flesso conviene studiare la derivata prima:
Pongo la derivata prima maggiore di zero
2cosx(1 - 2senx) > 0
Equivale a dire che esplicitando i due fattori e ponendoli maggiori di zero
2cosx > 0
1 - 2senx > 0
la funzione sara' positiva dove i due fattori hanno segni concordi.
se hai bisogno di aiuto per risolvere le disequazioni
2cosx > 0          0 + + + + + + + + + /2 - - - - - - - - - - - - - - - 3 /2 + + + + + + + (2 )
1 - 2senx < 0     0 + + + + /6 - - - - - - - - - - - - 5 /6 + + + + + + + + + + + + + + (2 )
y '                              +           -              +                  -                +
y                           M   m   M   m 

allora possiamo dire
A( /6 + 2k , 3/2) e' un punto di Massimo
B( /2 + 2k, 1) e' un punto di minimo
C(5 /6 + 2k, 3/2) e' un punto di Massimo
D(3 /2 + 2k, 0) e' un punto di minimo