Superficie di rotazione di un segmento con un estremo sull'asse di rotazione




M e' il punto medio di AB
O e' il punto di intersezione dell'asse del segmento AB con l'asse di rotazione CD

In pratica in questo caso si tratta di un cono di altezza A'B', apotema AB e raggio AA' quindi abbiamo, per la superficie di rotazione

Area = π AA' · AB

essendo MM' la perpendicolare condotta dal punto medio M del segmento AB essa vale la meta' di AA', cioe' AA' = 2MM' quindi ho
Area = 2 π MM' · AB

Ora considero i triangoli AA'B', MM'B'
essi hanno:
AA'//MM' perche' segmenti di perpendicolare condotti alla stessa retta CD
ABA'=MB'M' ^         ^ perche' in comune
Siamo nelle condizioni del teorema di Talete, quindi i due triangoli sono simili; potevo anche dire che, essendo retti,hanno i tre angoli uguali e quindi sono simili

Considero ora i triangoli MM'B' e MOB'
essi hanno:
MM'O=MM'B' ^         ^ perche' retti
MOM'=M'MB' ^         ^ perche' complementari dello stesso angolo M'MO ^
Cioe' sommati con lo stesso angolo valgono 90° (stessa dimostrazione fatta nel secondo teorema di Euclide) quindi i due triangoli hanno congruenti gli angoli e quindi sono simili

Allora, essendo AA'B' simile a MM'B' ed essendo MM'B' simile a MOM' avremo che (proprieta' transitiva) AA'B' e' simile a MOM'
Posso quindi scrivere la proporzione
AB:MO= A'B':MM' Non ho capito la proporzione
applico la proprieta' fondamentale (prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi)
AB·MM' = MO·A'B'
sostituiamo nell'espressione dell'area trovata prima

Area = 2 π MM' · AB = 2π OM · A'B'
cioe'
Area = 2π OM · A'B' =
come volevamo