esercizio

Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio funzionale F(x) i cui elementi sono funzioni y=f(x) (definite su tutto R)?, in cui e' definita la somma vettoriale come la nuova funzione y = f(x)+g(x) ed il prodotto scalare come a·f(x) con a appartenete ad R
Dimostrazione:
dovremo mostrare che abbiamo
  • la presenza di un gruppo commutativo su F(x) con l'operazione somma
  • la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario)
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
  • la proprieta' associativa fra gli scalari
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( F(x), +) e' un gruppo commutativo; devono valere le proprieta':
    • + e' interna infatti chiamati y=f1(x) e y = f2(x) due elementi di F(x) allora anche
      f3(x) = f1(x)+f2(x) appartiene a F(x)
      infatti una somma di funzioni e' ancora una funzione

    • + e' associativa
      infatti chiamati f1(x) , f2(x) e f3(x) tre elementi di F(x) abbiamo:
      [f1(x) + f2(x)]+ f3(x) = f1(x) + [f2(x) + f3(x)]
      Al solito le proprieta' della somma in R si applicano anche alla somma dei termini delle funzioni: te lo mostro su un esempio
      Consideriamo le funzioni
      y1 = x2 + log x
      y2 = x2 + 3x + 4
      y1 = ex + x
       Devo mostrare che vale
      [x2 + log x + x2 + 3x + 4]+ ex + x = x2 + log x + [x2 + 3x + 4 + ex + x]
      Basta applicare la proprieta' associativa e dissociativa della somma
      [x2 + log x + x2 + 3x + 4]+ ex + x = x2 + log x + x2 + 3x + 4 + ex + x = x2 + log x + [x2 + 3x + 4 + ex + x]
      se fermi il mouse sui passaggi leggi la spiegazione


    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste la funzione y = 0 tale che per ogni
      elemento (f1(x) + 0 = 0 + f1(x) = f1(x)

    • ogni elemento f1(x) di F(x) possiede in + l'elemento simmetrico -f1(x) tale che:
      f1(x)-f1(x) = 0
      Infatti bastera' considerare la funzione i cui termini hanno segno opposto.
      Esempio: se
      f1(x) = x2 + logx
      considero come simmetrica
      -f1(x) = -x2 - logx



    Quindi ( F(x), +) e' un gruppo;
    inoltre tale gruppo e' commutativo perche' presi comunque due elementi
    f1(x) e f2(x) di F(x) vale sempre
    f1(x) + f2(x) = f2(x) + f1(x)
    infatti la somma dei termini di una funzione e' commutativa

  • Mostriamo, su un esempio la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario)
    x · f1(x) = f1(x) ·x
    3 ·(x2 + logx) = 3·x2 + 3·logx = x2·3 + logx ·3 = (x2 + logx) · 3
    se fermi il mouse sui passaggii leggi la spiegazione

  • Proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
    x·[f1(x)+f2(x)] = x·f1(x)+x·f2(x)
    Anche qui te la mostro su un esempio
    f1(x) = ex + x
    f2(x) = x2 + x + 3
    4· [(ex + x) + (x2 + x + 3)] = 4· [ex + x + x2 + x + 3] =
    = 4·ex + 4·x + 4·x2 + 4·x + 4·3 = (4·ex + 4·x) + (4·x2 + 4·x + 4·3) =
    = 4· (ex + x) + 4· (x2 + x + 3)
    se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi

  • Mostriamola proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
    x·(y+z) = x·y + x·z
    siamo in R e quindi la proprieta' e' valida

  • Mostriamo la proprieta' associativa fra gli scalari
    x·(y·z) = (x·y)·z
    siamo sempre in R e quindi la proprieta' e' valida

    • Quindi F(x)) e' uno spazio vettoriale sul corpo R