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Esercizio sulla distribuzione di Poisson


La percentuale di pezzi difettosi prodotti da una macchina e', in media, dello 0,2%, siccome la ditta esporta tali pezzi in confezioni di 1000 calcolare quanti pezzi in piu' dovranno essere messi in ogni confezione perche' la probabilita' di avere in una confezione meno di 1000 pezzi efficienti sia inferiore allo 0,01%

Cioe' la macchina in media produce 2 pezzi difettosi ogni mille, quindi la probabilita' che un pezzo sia difettoso e' p= 0,002
il numero di pezzi per confezione e' n= 1000

Essendo n= 1000 molto grande e p=0,002 molto piccola possiamo approssimare bene utilizzando la distribuzione di Poisson Costruiamo la variabile aleatoria di Poisson per 0,1,2,3,4,5,... pezzi e vediamo a quale numero corrisponde una probabilita' inferiore a 0,01
Px = μx

x!
e
essendo μ = p n = 1000 ·0,002 = 2

Evento x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = 6 x = 7 x = 8
probabilita'
per 1 pezzo
μ0
    e
0!
μ1
    e
1!
μ2
    e
2!
μ3
    e
3!
μ4
    e
4!
μ5
    e
5!
μ6
    e
6!
μ7
    e
7!
μ8
    e
8!
probabilita'
per 1 pezzo
20
    e-2
0!
21
    e-2
1!
22
    e-2
2!
22
    e-2
3!
24
    e-2
4!
25
    e-2
5!
26
    e-2
6!
27
    e-2
7!
28
    e-2
8!
Probabilita' di
pezzi difettosi
0,0498 0,1353 0,2707 0,2707 0,3609 0,0902 0,0241 0,0021 0,00005
cioe' abbiamo una probabilita'
del 4,98% di non avere pezzi difettosi
del 13,53% di avere un solo pezzo difettoso
del 27,07% di avere esattamente 2 pezzi difettosi
del 27,07% di avere esattamente 3 pezzi difettosi
del 36,09% di avere esattamente 4 pezzi difettosi
del 9,02% di avere esattamente 5 pezzi difettosi
del 2,41% di avere esattamente 6 pezzi difettosi
del 0,21% di avere esattamente 7 pezzi difettosi
del 0,005% di avere esattamente 8 pezzi difettosi; questo valore e' inferiore alla probabilita' cercata
Da notare che la somma di tutte le probabilita' si avvicina al valore 1
Osservando la tabella possiamo dire intuitivamente che in ogni confezione di 1000 pezzi vanno aggiunti 8 pezzi per essere ragionevolmente sicuri che la confezione contenga 1000 pezzi efficienti
Continuando il calcolo, la probabilita' che 9 pezzi siano rovinati contemporaneamente e' (riapplico la formula)
p = 0,000002
cioe' e' la probabilita' che ogni 500 confezioni da 1000 pezzi ve ne sia una con 9 pezzi difettosi

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