Somma di n termini di una progressione geometrica



La somma di n termini di una progressione geometrica e' alla base del calcolo di una rata, quindi fondamentale in matematica finanziaria ed attuariale

Vogliamo sommare n termini di una progressione geometrica data, la somma sara' data da
Sn = a1 + a2 + a3 + ........... + an-2 + an-1 + an

Moltiplicando tutti i termini sia prima che dopo l'uguale per la ragione q ottengo

Sn·q = a1·q + a2·q + a3·q + ........... + an-2·q + an-1·q + an·q

Siccome ogni termine della progressione moltiplicato per q mi da' il termine successivo posso scrivere

Sn·q = a2 + a3 + a4 + ........... + an-1 + an + an·q
l'ultimo termine lo scrivo an·q invece che an+1

Adesso faccio la differenza fra questa uguaglianza e quella iniziale

Sn·q =       a2 + a3 + a4 + .............. + an-1 + an + an·q    -
Sn   = a1 + a2 + a3 + ........... + an-2 + an-1 + an
________________________________________________________
Sn·q - Sn =    -a1 + an·q

infatti gli altri termini si eliminano fra loro
Adesso la tratto come un'equazione per calcolare Sn

Raccolgo Sn
Sn·(q - 1) = an·q - a1

ma
an = a1·qn-1

ottengo
Sn·(q - 1) = a1·qn-1·q - a1

Cioe'
Sn·(q - 1) = a1·qn - a1

raccolgo anche a1
Sn·(q - 1) = a1·(qn - 1)

divido entrambe i membri per (q-1) ed ottengo la formula finale

Sn = a1·(qn - 1)

q - 1
o meglio

Sn = a1· qn - 1

q - 1


esempio : calcoliamo la somma dei primi 10 termini della progressione geometrica
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536
la ragione q vale 2 (per trovarla basta dividere il secondo termine per il primo 6:3=2)
quindi applico la formula
S10 = a1· qn - 1

q - 1
= 3· 210 - 1

2 - 1
= 3· ( 210 - 1) = 3·(1024-1) = 3(1023) = 3069
quindi S10= 3069

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