Esercizio

Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata

|x + 4| - |x-2| > -x + 8

Parto dalla definizione di modulo cioe'
|a| =  a se a>0
|a| = -a se a<0
quindi pongo |x+4|>0 ed anche |x-2| >0 e, se risultano negativi, li cambio di segno

 x + 4 > 0
x - 2 > 0

x > -4
x > 2

trovo due punti che mi dividono la retta reale in 3 intervalli, come vedi dal grafico qui sotto

x>-4 -   -   -   -   -   -   -   -   - +   +   +   +   +   +   + +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +
x> 2 -   -   -   -   -   -   -   -   - -   -   -   -   -   -   -   -   - +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +
ℜ -∞_______________________ -4______________________ 2____________________________________+∞


Nel primo intervallo (rosso) gli argomenti dei moduli sono entrambe negativi
Nel secondo intervallo (verde) il primo modulo ha argomento positivo, mentre il secondo modulo ha argomento negativo
Nel terzo intervallo (blu) entrambe gli argomenti dei moduli sonoo positivi
per ogni intervallo devo controllare se gli argomenti dei moduli sono positivi o negativi e scrivere le relative equazioni: te lo sviluppo passo-passo
  • Primo intervallo: da -∞ a -4
    x < -4
    l'argomento del modulo |x+4| e' negativo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo -x-4
    l'argomento del modulo |x-2| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+2
    quindi ho l'equazione
    -x - 4 - (-x + 2) > -x + 8
    e posso considerare il sistema
    -x-4 - (-x + 2) > -x + 8
    x < -4

  • Secondo intervallo: da -4 (compreso) a 2
    -4≤ x < 2
    l'argomento del modulo |x+4| e' positivo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo x+4
    l'argomento del modulo |x-2| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+2
    quindi ho l'equazione
    x + 4 - (-x + 2) > -x + 8
    e posso considerare il sistema
    x + 4 - (-x + 2) > -x + 8
    -4 ≤ x < 2

  • Terzo intervallo: da 2 (compreso) a +∞
    x ≥ 2
    l'argomento del modulo |x+4| e' positivo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo x+4
    l'argomento del modulo |x-2| e' positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-2
    quindi ho l'equazione
    x + 4 - (x - 2) > -x + 8
    e posso considerare il sistema
    x + 4 - (x - 2) > -x + 8
    x ≥ 2


la mia disequazione e' equivalente ai 3 sistemi

   I   -x-4 - (-x + 2) > -x + 8
x < -4 		   II  x + 4 - (-x + 2) > -x + 8
-4≤ x < 2 		   III  x + 4 - (x - 2) > -x + 8
x ≥ 2


Da notare che, se usi il sistema, non c'e' piu' bisogno di fare riferimento all'intervallo di validita' perche' esso e' inglobato nel sistema stesso, quindi otterrai automaticamente i risultati negli intervalli validi

Risolvo il primo sistema
-x - 4 - (-x+2) > -x + 8
x < -4

-x - 4 +x - 2 > -x + 8
x < -4

-6 > -x + 8
x < -4

x > 8+6
x < -4

x > 14
x < -4

faccio il grafico
x<-4 ________________ -4                                       
x>14 14________________

il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe)

Risolvo il secondo sistema
x + 4 - (-x+2) > -x + 8
-4 ≤ x < 2

x + 4 + x - 2 > -x + 8
-4 ≤ x < 2

2x +2 > -x + 8
-4 ≤ x < 2

2x + x > 8-2
-4 ≤ x < 2

3x > 6
-4 ≤ x < 2

x > 2
-4 ≤ x < 2

faccio il grafico
-4 ≤ x < 2                   -4_______________                        
x>2 2________________

il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe e 2 non appartiene ne' alla prima, ne' alla seconda disequazione)

Risolvo il terzo sistema
x + 4 - (x-2) > -x + 8
x ≥ 2

x + 4 - x + 2 > -x + 8
x ≥ 2

6 > -x + 8
x ≥ 2

x > -6 + 8
x ≥ 2

x > 2
x ≥ 2

faccio il grafico
x ≥ 2             2__________________________
x>2 2__________________________

per indicare che il punto e' compreso l'ho sottolineato e messo in corsivo; di solito nei grafici si indica con un tondino
 il sistema ammette soluzione x > 2 (devi considerare dove sono valide entrambe)

adesso metto assieme i risultati dei tre sistemi e trovo la soluzione

Soluzione
x > 2

cioe'

∀ x ∈ ℜ / x ∈ ]2 ; +∞[   
Il simbolo / significa "tale che".
Si legge: per ogni numero Reale x tale che x appartenga all'intervallo aperto da 2 a piu' infinito: aperto significa che 2 non e' una soluzione, cioe' non e' compreso nell'intervallo delle soluzioni

oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l'equazione:

x>2               2_______________________________
ℜ_____________________________________________