Risolvere il sistema:

xy = 15
x2 + y2 = 34


E' un sistema di quarto grado perche' entrambe le equazioni componenti sono di secondo grado
Applico la prima formula di Waring alla seconda equazione
xy = 15
(x+y)2 - 2xy = 34

Sostituisco il valore di xy dalla prima equazione nella seconda
xy = 15
(x+y)2 - 2(15) = 34

faccio i calcoli
xy = 15
(x+y)2 - 30 = 34


xy = 15
(x+y)2 = 34 + 30


xy = 15
(x+y)2 = 64

adesso siccome ho (x+y)2posso fare la radice per trovare (x+y) ed, siccome le radici di 64 sono -8 e +8 ottengo i due sistemi equivalenti al sistema di partenza
xy = 15
x + y = -8
         xy = 15
x + y = 8

Risolvo la prima:
xy = 15
x + y = -8
considero l'equazione associata
z2 + 8z + 15 = 0
risolvo ed ottengo         Calcoli
z1 = -3
z2 = -5
ho quindi le soluzioni
x1 = -3
y1 = -5
         x2 = -5
y2 = -3

Risolvo la seconda:
xy = 15
x + y = 8
considero l'equazione associata
z2 - 8z + 15 = 0
risolvo ed ottengo         Calcoli
z1 = 3
z2 = 5
ho quindi le soluzioni
x1 = 3
y1 = 5
    x2 = 5
y2 = 3

Raccogliendo ho le 4 soluzioni
x1 = -3
y1 = -5
    x2 = - 5
y2 = -3
x3 = 3
y3 = 5
    x4 = 5
y4 = 3