metodo delle derivate successive il metodo delle derivate successive dice semplicemente questo: se la derivata prima in un punto vale zero basta calcolarvi la derivata seconda: se la derivata seconda e' positiva in quel punto c'e' un minimo se la derivata seconda e' negativa in quel punto c'e' un massimo se la derivata seconda e' nulla occorre calcolare la derivata terza se la derivata terza e' positiva in quel punto c'e' un flesso ascendente se la derivata terza e' negativa in quel punto c'e' un flesso discendente se la derivata terza e' nulla occorre calcolare la derivata quarta se la derivata quarta e' positiva in quel punto c'e' un minimo se la derivata quarta e' negativa in quel punto c'e' un massimo se la derivata quarta e' nulla occorre calcolare la derivata quinta eccetera eccetera attenzione per flesso intendiamo qui flesso orizzontale regola: Se la prima derivata diversa da zero e' di ordine pari ed e' positiva avremo un minimo, se e' negativa un massimo; se la prima derivata diversa da zero e' di ordine dispari ed e' positiva avremo un flesso ascendente, se e' negativa un flesso discendente. Se ti serve puoi vedere la dimostrazione Facciamo alcuni esempi esempio 1 (Massimo) esempio 2 (minimo) esempio 3 (flesso) esempio 1: calcolare i punti di eventuale massimo, minimo e flesso orizzontale della funzione y = -3x2 - 6x - 8 Trovo la derivata prima della funzione y' = -6x - 6 Pongo la derivata uguale a zero per cercare eventuali punti estremanti -6x - 6 = 0 -6x = 6 6x = -6 x = -1 Calcolo il valore della funzione di partenza nel punto -1 f(-1) = -3·(-1)2 -6·(-1) - 8 = -5 il punto A( -1, -5) e' un punto estremante, devo vedere se e' un massimo, un minimo o un flesso Trovo la derivata seconda yII = -6 ora dovrei calcolare il valore della derivata seconda sostituendo ad x il valore -1 ma in questo caso il valore della derivata seconda e' costante yII(-1) = -6 < 0 Quindi abbiamo un massimo come avevamo gia' trovato (l'esercizio e' stato gia' risolto con l'altro metodo) torna su esempio 2 calcolare i punti di eventuale massimo, minimo e flesso orizzontale della funzione y = x4 trovo la derivata prima della funzione y' = 4x3 Pongo la derivata uguale a zero per cercare eventuali punti estremanti 4x3 = 0 x3 = 0 x = 0 Calcolo il valore della funzione di partenza nel punto 0 f(0) = 04 = 0 il punto O( 0, 0 ) e' un punto estremante, devo vedere se e' un massimo, un minimo o un flesso Trovo la derivata seconda yII = 12x2 La calcolo per x=0 yII(0) = 12·02 = 0 Trovo la derivata terza yIII = 24x La calcolo per x=0 yIII(0) = 24·0 = 0 Trovo la derivata quarta yIV = 24 La calcolo per x=0 yIV(0) = 24 > 0 Il punto O(0,0) e' un minimo perche' la derivata quarta (ordine pari) e' nel punto maggiore di zero torna su esempio 3 calcolare i punti di eventuale massimo, minimo e flesso orizzontale della funzione y = x5 Trovo la derivata prima della funzione y' = 5x4 Pongo la derivata uguale a zero per cercare eventuali punti estremanti 5x4 = 0 x4 = 0 x = 0 Calcolo il valore della funzione di partenza nel punto 0 f(0) = 05 = 0 il punto O( 0, 0 ) e' un punto estremante, devo vedere se e' un massimo, un minimo o un flesso Trovo la derivata seconda yII = 20x3 La calcolo per x=0 yII(0) = 20·03 = 0 Trovo la derivata terza yIII = 60x2 La calcolo per x=0 yIII(0) = 60·02 = 0 Trovo la derivata quarta yIV = 120x La calcolo per x=0 yIV(0) = 120·0 = 0 Trovo la derivata quinta yV = 120 La calcolo per x=0 yV(0) = 120 > 0 Il punto O(0,0) e' un flesso orizzontale ascendente perche' la derivata quinta (ordine dispari) e' nel punto maggiore di zero torna su