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Distribuzione uniforme Piu' che un'effettiva probabilita' si tratta di una probabilita' "didattica" o meglio di un tipo di probabilita' che ci permette di capire meglio tutto l'impianto Consideriamo la variabile casuale X che assume tutti i valori nell'intervallo [a;b] con funzione densita' f(x) = k Essendo la probabilita' totale su [a;b] uguale ad 1 possiamo trovare il valore di k impostando l'equazione ∫ab kdx = 1 l'integrale e' immediato e otteniamo | kx |ab = 1 risolvendo kb - ka = 1 raccolgo k k(b-a) = 1 k = 1 b-a quindi la nostra funzione densita' e' f(x) = 1 b-a Il grafico di tale funzione, essendo una funzione costante, e' un segmento orizzontale da x=a ad x=b di altezza sull'asse delle x uguale a 1/(b-a) e l'area sottesa (la parte grigia) vale 1 Otterremo la funzione di ripartizione calcolando l'integrale da a ad x della funzione densita' F(x) = ∫ax   1 b-a dt = 1 b-a ∫ax dt 1 =   b-a | t |ax = x-a b-a quindi abbiamo la funzione di ripartizione F(x) = 0               se x ≤ a x-a b-a        se a≤x≤b 1               se x ≥b a destra la sua rappresentazione grafica Calcoliamo ora il valore medio M(X) = ∫ab x f(x)dx = ∫ab 1 b-a xdx = 1 b-a ∫ab xdx = 1 b-a | x2 /2 |ab 1 = · b-a (b2 - a2) 2 (b+a)(b-a) = = b-a b+a 2 Quindi il valore medio e' quello che divide a meta' verticalmente la funzione densita', o meglio la media aritmetica fra gli estremi a e b Calcoliamo ancora la varianza Prima calcolo il valore medio del quadrato della variabile aleatoria M(X2) = ∫ab x2 f(x)dx = ∫ab 1 b-a x2dx = 1 b-a ∫ab x2dx = 1 b-a | x3 /3 |ab 1 = · b-a (b3 - a3) 3 (b-a)(b2 +ab + a2) = = 3(b-a) b2+ab+a2 3 Adesso, per trovare la varianza da questo valore sottraggo il quadrato del valore medio σ2(X) = M(X2)- [M(X)]2 b2+ab+a2 = - 3 (b+a)2    = 4 faccio il minimo comune multiplo 4(b2+ab+a2) -3 (b2+2ab+a2) = = 12 4b2+4ab+4a2 -3b2-6ab-3a2 = = 12 b2-2ab+a2 = = 12 (b-a)2 12 Infine calcoliamo lo scarto quadratico medio Basta applicare la radice al risultato precedente σ = (b-a)2 12 quindi σ = b-a 2 √3 ≅ 0,288675 (b-a)