Calcolo del montante di una rendita immediata posticipata Prima di procedere consiglio un ripasso del concetto di progressione geometrica dovremo utilizzare la formula per la somma dei suoi primi n termini Consideriamo la rata fissa dell'importo di 1 €; per qualunque altro importo bastera' poi moltiplicare tale importo per il nostro risultato Consideriamo sulla retta dei tempi una rendita immediata posticipata di rata 1 € e di durata n anni i numeri sotto la retta indicano i periodi Il primo euro sara' versato alla fine del primo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per n-1 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)n-1€ = un-1 Il secondo euro sara' versato alla fine del secondo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per n-2 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)n-2€ = un-2 Il terzo euro sara' versato alla fine del terzo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per n-3 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)n-3€ = un-3 ............................... ............................... Il quartultimo euro sara' versato alla fine del quartultimo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per 3 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)3€ = u3 Il terzultimo euro sara' versato alla fine del terzultimo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per 2 periodi quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)2€ = u2 Il penultimo euro sara' versato alla fine del penultimo periodo e dovra' essere spostato avanti nel tempo per 1 periodo quindi alla fine avra' valore 1·(1+i)1€ = u L'ultimo euro sara' versato alla fine dell'ultimo periodo e avra' valore 1€ = 1 per semplificare alla fine ho sottointeso gli € Raccogliendo per calcolare il montante dovremo eseguire la somma = un-1 + un-2 + un-3 + ............... + u3 + u2 + u + 1 per la proprieta' commutativa dell'addizione posso scrivere Non dirlo al Prof. di Religione, ma si potrebbe anche procedere evangelicamente: infatti se applichi la regola evangelica "gli ultimi saranno i primi ed i primi saranno ultimi" allora metti l'ultimo termine al primo posto, il penultimo al secondo posto,.... il primo termine all'ultimo posto ed ottieni ugualmente = 1 + u + u2 + u3 + ............... + un-3 + un-2 + un-1 Si vede ora che si tratta di una progressione geometrica di n termini di ragione u e quindi, applicando la formula della somma = 1· un - 1 u - 1 possiamo rendere questa formula un po' piu' semplice sviluppando il fattore u = 1· (1+i)n - 1 1+i - 1 sommando otteniamo la formula finale = (1+i)n - 1 i Questa e' una formula molto importante e va ricordata a memoria; comunque noi, nei problemi, cercheremo soprattutto di trovarne ed usarne i valori utilizzando le tavole finanziarie Vediamo un semplice esempio trovare il montante di una rendita posticipata di 10 anni di rata 2000 € al tasso i = 0,02 dati: R = 2000 € i = 0,02 n = 10 Cerco sulle tavole "montante della rendita unitaria posticipata. valori di " per i=0,02 e n=10 trovo il valore 10,94972100, quindi avro' il montante 10,94972100·2000 € = 21899,442 €