Equazioni in seno e coseno di primo grado lineari omogenee


Lineare significa che i termini dell'equazione, diversi dal termine noto, sono tutti di primo grado
Omogenea significa che il termine noto vale 0
Per risolvere un'equazione di questo genere e' sufficiente dividere tutti i temini dell'equazione per cos x , supponendo che cos x sia diverso da zero: in tal modo si ottiene un'equazione di primo grado in tang x che si risolve normalmente
e' necessario pero' controllare che la soluzione corrispondente a cos x = 0 non sia valida per l'equazione di partenza
Un esempio chiarira' meglio il concetto
Risolvere l'equazione
sen x + cos x = 0
divido ogni termine per cos x supponendo
cos x 0
(secondo principio di equivalenza delle equazioni)
sen x cos x 0
---------- + ---------- = ----------
cos x cos x cos x
Ricordando la seconda relazione fondamentale
tang x + 1 = 0
Risolvo
tang x = -1
Il valore dell'angolo corrispondente e' 135
(sarebbe -45 ma noi considereremo sempre gli angoli partendo dall'origine degli angoli e ruotando in senso antiorario)
Quindi abbiamo
x = 135 + k 180
o preferibilmente
x = 3/4 + k
Non e' finita!
Siccome ho supposto cos x 0 devo controllare se la soluzione cos x = 0 soddisfa l'equazione di partenza: siccome cos x = 0 si ottiene nel primo giro per gli angoli 90 e 270 devo controllare i valori dell'equazione
sen x + cos x = 0 a 90 ed a 270
  • Controllo per x = 90 ( se vuoi essere preciso usa /2 )
    sen 90 + cos 90 = 0
    1 + 0 = 0
        x = 90 non e' soluzione
  • Controllo per x = 270 ( se vuoi essere preciso usa 3 /2 )
    sen 270 + cos 270 = 0
    -1 + 0 = 0
        x = 270 non e' soluzione
Quindi la soluzione finale e'
x = 135 + k 180
o meglio
x = 3/4 + k
E' un errore piuttosto comune e diffuso non controllare le condizioni di realta'; se dividi per un'espressione e il tuo risultato differisce dal libro di testo controlla subito se hai considerato i casi in cui il denominatore vale zero

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