Equazioni in seno e coseno di primo grado lineari non omogenee

Stavolta non possiamo dividere per cos x perche' c'e' un termine noto:
per risolvere un'equazione di questo genere si usano le formule parametriche
2t
sen = ----------
1 + t2
1 - t2
cos = ----------
1 + t2
sostituendo a sen x e cos x le espressioni riportate si ottiene un'equazione di secondo grado in t (tang x/2) che e' possibile risolvere;
Anche se abbiamo un'equazione fratta non abbiamo bisogno di condizioni di realta' perche' il denominatore 1+t2 e' certamente positivo come somma di due quadrati.
Vediamo un esempio: risolvere l'equazione
sen x + cos x = 1
Sostituisco
2t 1 - t2
---------- + ---------- = 1
1 + t2 1 + t2
Faccio il minimo comune multiplo
2t + 1 - t2 1 + t2
----------------- = ----------
1 + t2 1 + t2
elimino i denominatori e porto prima dell'uguale
2t + 1 - t2 - 1 - t2 = 0
-2t2 + 2t = 0
Divido per -2
t2 - t = 0
equazione di secondo grado spuria
t(t-1)=0
ho le due equazioni
  • t = 0
  • t - 1 = 0
e le due soluzioni
  • t = 0
  • t = 1
Ora sono equazioni di tipo fondamentale
  • risolvo la prima
    tang x/2 = 0
    l'angolo la cui tangente e' 0 e' 0
    x/2 = 0 + k 180
    quindi siccome devo trovare x
    x = 0 + k 360

  • risolvo la seconda
    tang x/2 = 1
    l'angolo la cui tangente e' 1 e' 45
    x/2 = 45 + k 180
    quindi siccome devo trovare x
    x = 90 + k 360

ho quindi le soluzioni
x = 0 + k 360     x = 90 + k 360
o meglio
x = 0 + 2k     x = /2 + 2 k

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