Unicita' dell'elemento simmetrico Proprieta': In ogni gruppo (A ; ) per ogni elemento a esiste un solo elemento simmetrico Dimostrazione: Ipotesi: (A ; ) e' un gruppo Tesi: per ogni elemeto a e' unico a' tale che aa'=n Per definizione di gruppo dato un elemento a il simmetrico deve esistere quindi bastera' dimostrare che c'e n'e' uno solo (e' unico) Per assurdo supponiamo che, dato l'elemento a esistano due elementi simmetrici a' ed a", allora avro' per definizione di elemento simmetrico : a a' = a' a = n a a" = a" a = n Sviluppo a' fino ad ottenere a" a' = a' n = al posto di n metto ( a a" ) = a' ( a a" ) = Uso la proprieta' associativa per collegare a con a' = (a' a ) a" = Ma (a' a ) = n quindi = n a" = e, per la proprieta' dell'elemento neutro n = a" Quindi leggendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza ottengo a' = a" Cioe' se esistono due elementi simmetrici essi sono uguali, come volevamo dimostrare.