Scomposizione secondo il cubo del binomio

E' la piu' complicata da calcolare
Scriviamo la formula per il cubo del binomio (a+b)3 =a3 +3a2 b+3ab2 +b3
Se la leggiamo a rovescio otterremo una scomposizione
a3 +3a2 b+3ab2 +b3= (a+b)3
La prima cosa da osservare e' che si puo' fare quando abbiamo un polinomio di 4 termini; osserviamo anche che ci devono essere due termini che siano dei cubi ed inoltre i segni devono essere in numero pari, cioe' quattro segni positivi oppure due positivi e due negativi, oppure quattro segni negativi
Io consiglio i miei alunni di considerare i due termini di cui ci sono i cubi e provare ad eseguire con loro il cubo del binomio: se corrisponde al quadrinomio di partenza e' il cubo e posso scomporre come
( primo monomio + secondo monomio)3
altrimenti, se non si prova un'altra scomposizione
Esempio:proviamo scomporre
8x3 +36x2y +54xy2 +27y3=
E' un polinomio di quattro termini e vi sono due cubi:
8x3 e' il cubo di 2x
27y3 e' il cubo di 3y
Quindi proviamo a calcolare
(2x+3y)3 Ho messo il piu' perche' i termini sono tutti positivi, se avevo due positivi e due negativi provavo col segno meno)
Se il risultato corrispondera' al polinnomio di partenza questa sara' la scomposizione, altrimenti dovremo provare un'altra scomposizione (ad esempio Ruffini)
Se sviluppo ottengo
(2x+3y)3= 8x3 +36x2y +54xy2 +27y3
Va bene. Quindi potro' scrivere:
8x3 +36x2y +54xy2 +27y3=(2x+3y)3


Per i segni notiamo che se e' un cubo i segni sono o tutti e quattro positivi (o negativi)oppure due positivi e due negativi quindi se avessi
8x3 +36x2y -54xy2 +27y3
Questo non potrebbe essere un cubo

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